Μιγαδική Ανάλυση: Περιεχόμενα ύλης

• Μιγαδικοί αριθμοί
• Εξάσκηση σε πράξεις με μιγαδικούς

Τα περιεχόμενα θεματικά:

• Μιγαδικοί αριθμοί
  
  • Τι είναι μιγαδικοί αριθμοί - τι μαθηματικό κενό καλύπτουν
  • To i
  • Γεωμετρική αναπαράσταση μιγαδικού
  • Πολική αναπαράσταση μιγαδικού, μέτρο, όρισμα, πρωτεύον όρισμα, τύπος Euler
  • Στοιχειώδεις πράξεις με μιγαδικούς - γεωμετρική τους αναπαράσταση
  • Συζυγής μιγαδικού, αναπαράστασή του, ιδιότητές του
  • Θεώρημα de Moivre και εφαρμογές του
• Συναρτήσεις μιγαδικής μεταβλητης
  • Απλές συναρτήσεις (εκθετικά, δυνάμεις, τριγωνομετρικές συναρτήσεις, υπερβολικές συναρτήσεις) και ιδιότητές τους
  • Πλειότιμες συναρτήσεις (ρίζες, λογάριθμος).
  • Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης: Ορισμός, συνθήκες Cauchy-Riemann, συνθήκες ύπαρξης παραγώγου, υπολογισμός παραγώγου
  • Αναλυτικές συναρτήσεις, ομαλά και ανώμαλα σημεία μιγαδικής συνάρτησης, ταξινόμηση ανώμαλων σημείων [απομονωμένη ανωμαλία (πόλος, ουσιώδης ανωμαλία, αιρόμενη ανωμαλία) και μη απομονωμένη]
  • Ολοκλήρωμα μιγαδικής συνάρτησης: Γενικός τρόπος υπολογισμού (αναγωγή του ολοκληρώματος σε ολοκλήρωμα μίας πραγματικής μεταβλητής), θεώρημα Cauchy, ιδιότητες μιγαδικών ολοκληρωμάτων, τύπος Cauchy για τη συνάρτηση και την παράγωγό της (ή ολοκληρωτική αναπαράσταση συνάρτησης)
  • Ολοκληρωτικό υπόλοιπο συνάρτησης. Θεώρημα των υπολοίπων. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων μιγαδικών συναρτήσεων με χρήση του θεωρήματος των υπολοίπων. Υπολογισμός πραγματικών ολοκληρωμάτων με χρήση του θεωρήματος των υπολοίπων:
    α) Ολοκληρώματα από 0-->2π ρητών συναρτήσεων ημιτόνων και συνημιτόνων.
    β) Ολοκληρώματα από -οο --> οο κάποιων πραγματικών συναρτήσεων (όχι πλειότιμων), με χρήση μιγαδικής ολοκλήρωσης και Λήμματος Jordan. Τί κάνουμε αν η συνάρτηση έχει πόλο στον πραγματικό άξονα και τι λέμε κύρια τιμή ολοκληρώματος.
  • Ανάπτυξη μιγαδικών συναρτήσεων σε σειρά Taylor
  • Σειρές Laurant.
  • Συνάρτηση Γ (ορισμός μόνο).