Διατάξεις

Η παραπάνω περίπτωση μπορεί να ιδωθεί και από άλλη οπτική γωνιά, όπως φαίνεται στο εξής παράδειγμα:

Παράδειγμα 3: Ένα δοχείο περιέχει $s$ όμοιους βόλους, που φέρουν αριθμούς από το 1 ως το $s$. Επιλέγουμε τυχαία ένα βόλο από το δοχείο, σημειώνουμε τον αριθμό του και τον ξανατοποθετούμε στο δοχείο. Αν η διαδικασία αυτή επαναληφθεί $n$ φορές, ποιος είναι ο δειγματοχώρος (σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων) του πειράματος;

Κάθε μία από τις επιλογές δίνει έναν αριθμό από το 1 ως το $s$. Το αποτέλεσμα των $n$ επιλογών περιγράφεται από τη $n-$άδα $x_1,x_2,...,x_n$, όπου το $x_1$ είναι ο αριθμός πάνω στον πρώτο βόλο που επιλέξαμε, το $x_2$ είναι ο αριθμός πάνω στον δεύτερο βόλο που επιλέξαμε, κ.τ.λ. Συνολικά υπάρχουν $s^n$ δυνατές $n-$άδες, οι οποίες αποτελούν τα σημεία του δειγματοχώρου $\Omega$ του πειράματος.

Η παραπάνω διαδικασία λέγεται δειγματοληψία με επανατοποθέτηση από έναν πληθυσμό $s$ διακεκριμένων αντικειμένων. Το αποτέλεσμα $x_1,x_2,...,x_n$ λέγεται διατεταγμένο δείγμα μεγέθους $n$ από έναν πληθυσμό μεγέθους $s$ αντικειμένων με επανατοποθέτηση, ή διάταξη των $s$ αντικειμένων ανά $n$. Εδώ βέβαια υποθέτουμε ότι όλα τα $s^n$ δυνατά δείγματα έχουν την ίδια πιθανότητα. Για παράδειγμα, στη ρίψη των τριών ζαριών, όπου έχουμε $6^3=216$ δυνατά αποτελέσματα, καθένα από αυτά θεωρούμε ότι έχει πιθανότητα $1/216$ να βγεί.

Παράδειγμα 4: Έστω τα γράμματα $a, b, c$. Πόσα είναι τα δυνατά διατεταγμένα ζεύγη που θα μπορούσαμε να φτιάξουμε από τα γράμματα αυτά χρησιμοποιώντας δειγματοληψία με επανατοποθέτηση;

Σύμφωνα με τα παραπάνω, τα διατεταγμένα δεύγη (δείγματα μεγέθους 2) που μπορούμε να φτιάξουμε από πληθυσμό τριών αντικειμένων (δηλαδή οι διατάξεις των τριών στοιχείων ανά δύο) είναι $3^2=9$. Οι διατάξεις αυτές είναι οι
$\{(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)\}$.

Ας δούμε τώρα μια λίγο διαφορετική διαδικασία. Έστω $S$ ένα σύνολο με $s$ διακεκριμένα αντικείμενα, αριθμημένα από το 1 ως το $s$. Επιλέγουμε ένα από αυτά και σημειώνουμε τον αριθμό του, χωρίς να το ξανατοποθετήσουμε στο $S$. Αν επαναλάβουμε αυτή τη διαδικασία, θα έχουμε να επιλέξουμε κάποιο από τα υπόλοιπα $s-1$ αντικείμενα. Γενικά, αν εκτελέσουμε τη διαδικασία αυτή $n$ φορές, επιλέγονται συνολικά $n$ αντικείμενα από το $S$, όπου προφανώς $n \leq s$ (π.χ. επιλογή 6 χαρτιών από μια τράπουλα). Το αποτέλεσμα αυτού του σύνθετου τυχαίου πειράματος περιγράφεται και πάλι από μιά $n-$άδα $x_1,x_2,...,x_n$, της οποίας όμως οι αριθμοί πρέπει να είναι διαφορετικοί, αφού δεν έχουμε διπλές εμφανίσεις στο δείγμα μας. Το πρώτο αντικείμενο που επιλέξαμε μπορεί να είναι οποιοδήποτε από τα $s$ (άρα υπάρχουν $s$ τρόποι για την επιλογή του πρώτου αντικειμένου), το δεύτερο οποιοδήποτε από τα υπόλοιπα $s-1$, κ.ο.κ. Άρα υπάρχουν, σύμφωνα με την πρόταση της προηγούμενης παραγράφου,

$(s)_n = s(s-1) (s-2) \cdots (s-n+1)=s!/(s-n)!$

διαφορετικά δυνατά αποτελέσματα για το πείραμα αυτό.

Η διαδικασία αυτή ονομάζεται δειγματοληψία $n$ αντικειμένων χωρίς επανατοποθέτηση, αν υποθέσουμε ότι όλα τα $(s)_n$ αποτελέσματα είναι ισοπίθανα.

Παράδειγμα 5: Έστω τα γράμματα $a, b, c$. Πόσα είναι τα δυνατά διατεταγμένα ζεύγη που θα μπορούσαμε να φτιάξουμε από τα γράμματα αυτά χρησιμοποιώντας δειγματοληψία χωρίς επανατοποθέτηση;

Δειγματοληψία χωρίς επανατοποθέτηση σημαίνει ότι στο κάθε διατεταγμένο ζεύγος ένα γράμμα θα εμφανίζεται μόνο μία φορά. Σύμφωνα με τα παραπάνω, ο αριθμός τέτοιων ζευγών είναι $(3)_2=3!/(3-2)!=6$. (Τα διατεταγμένα αυτά ζεύγη είναι τα $\{(a,b), (a,c), (b,a), (b,c), (c,a), (c,b)\}$.)

Στην ειδική περίπτωση όπου $n=s$, δηλαδή ζητάμε τα διατεταγμένα δείγματα μεγέθους $s$ που μπορούμε να φτιάξουμε από πληθυσμό $s$ αντικειμένων χωρίς επανατοποθέτηση, ο αριθμός των δυνατών αποτελεσμάτων ειναι

$$(s)_s = s\cdot (s-1)\cdot (s-2) \cdots 2\cdot 1 = s! .$$

Τα αποτελέσματα αυτά λέγονται μεταθέσεις των $s$ αριθμών. Λέμε λοιπόν ότι το σύνολο των δυνατών μεταθέσεων $s$ αριθμών είναι $s!$.

Π.χ., οι δυνατές μεταθέσεις των τριών γραμμάτων $a, b, c$ του προηγούμενου παραδείγματος είναι 3!=6 (είναι οι $(a,b,c),~(a,c,b),~(b,a,c),~(b,c,a),~(c,a,b),~(c,b,a)$).

Παράδειγμα 6: Το περίφημο πρόβλημα των γενεθλίων.
Πόσους ανθρώπους χρειάζεται να έχουμε σε ένα δωμάτιο ώστε η πιθανότητα δύο από αυτούς να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα να είναι ευνοική; (Δηλαδή να είναι μεγαλύτερη από 1/2;)

Για να το βρούμε, θα υπολογίσουμε την πιθανότητα $P$ σε ένα δωμάτιο με $n$ ανθρώπους να μην υπάρχουν δύο που έχουν γεννηθεί την ίδια ημερομηνία. Δεχόμαστε ότι ένα έτος έχει 365 ημέρες (αγνοούμε τα δίσεκτα έτη), και ότι όλες οι ημέρες ενός έτους έχουν την ίδια πιθανότητα να είναι ημέρες γενεθλίων. Αριθμούμε τους ανθρώπους από το 1 εως το $n$. Τα σημεία του δειγματοχώρου είναι $n-$άδες της μορφής $(x_1, x_2, ... , x_n)$, όπου τα $x_i$, $i=1,2,...,n$ είναι μιά από τις 365 ημέρες του έτους. Όλες οι δυνατές $n-$άδες είναι $365^n$, ενώ αυτές στις οποίες καμία ημερομηνία δεν εμφανίζεται πάνω από μιά φορά είναι

$$365 \cdot 364 \cdot 363 \cdots (365 -n +1) = (365)_n .$$

Υποθέτοντας ότι κάθε μία από αυτές έχει την ίδια πιθανότητα να εμφανιστεί, έχουμε

$$P = \frac{(365)_n}{365^n} .$$

Τότε, το $n$ που απαιτείται ώστε η πιθανότητα να έχουν δύο από τους $n$ ανθρώπους γενέθλια την ίδια ημερομηνία να είναι ευνοική, βρίσκεται από τη σχέση

$$P < \frac{1}{2} \Rightarrow = (365)_n < 365^n .$$

Το αποτέλεσμα είναι εντυπωσιακό. Ακόμα και για $n=23$ έχουμε ότι $P < 1/2$, ενώ για $n=56$ έχουμε $P =0.01$. Δηλαδή, σε μιά ομάδα 56 ατόμων είναι σχεδόν βέβαιο ότι δύο από αυτούς έχουν γεννηθεί την ίδια ημερομηνία.

Είδαμε ότι αν έχουμε έναν πληθυσμό $s$ αντικειμένων, μπορούμε να επιλέξουμε $s^n$ δείγματα μεγέθους $n$ με επανατοποθέτηση, και $(s)_n$ δείγματα χωρίς επανατοποθέτηση. Αν όμως το $s$ είναι πολύ μεγάλο σε σχέση με το $n$ ($s \gg n$), τότε η διαφορά μεταξύ των δύο μεθόδων τυχαίας δειγματοληψίας είναι πολύ μικρή.