Ασκήσεις

1. Έστω $\Omega$=$\{a,b,c\}$ ο δειγματοχώρος ενός πειράματος τύχης. Αν $P(a)=1/2$, $P(b)=1/3$ και $P(c) = 1/6$, να βρείτε τις πιθανότητες όλων των δυνατών υποσυνόλων του $\Omega$.

2. Ρίχνουμε ένα τίμιο ζάρι δύο φορές. Βρείτε την πιθανότητα να έρθει 4,5 ή 6 στην πρώτη ρίψη και 1,2,3 ή 4 στη δεύτερη.

3. Τραβάμε στην τύχη ένα χαρτί από μιά συνηθισμένη τράπουλα 52 χαρτιών. Να βρεθεί η πιθανότητα το χαρτί αυτό να είναι

   α) άσσος,

   β) βαλές κούπα,

   γ) τρία σπαθί ή έξι καρρό,

   δ) κούπα,

   ε) όχι κούπα,

   στ) δέκα ή μπαστούνι,

   ζ) ούτε τέσσερα ούτε σπαθί.

4. Έστω δύο ενδεχόμενα $A$ και $B$ ενός τυχαίου πειράματος.

   α) Αν $P(Α) = 2/5$, $P(Β) = 2/5$ και $P(Α\cup B) =1/2$, βρείτε την $P(Α\cap Β)$.

   β) Αν $P(Α) = 1/3$, $P(Α\cup Β) = 1/2$ και $P(Α\cap B) =1/4$, βρείτε την $P(Β)$.

   γ) Αν $P(Α^c) = 1/3$, $P(Β) = 1/2$ και $P(Α\cap B) =1/4$, βρείτε την $P(Α\cup B)$.

   δ) Αν $P(Β^c) = 1/2$, και $P(Α\vert B) =1/2$, βρείτε την $P(Α\cap B)$.

5. Ένα δοχείο περιέχει $r$ κόκκινους και $b$ μαύρους βόλους. Επιλέγουμε τυχαία ένα βόλο από το δοχείο, και στη συνέχεια ένα δεύτερο από αυτούς που είχαν απομείνει στο δοχείο. Βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων:

   α) και οι δύο βόλοι είναι κόκκινοι

   β) ο πρώτος βόλος είναι κόκκινος και ο δεύτερος μαύρος

   γ) ο πρώτος βόλος είναι μαύρος και ο δεύτερος κόκκινος

   δ) και οι δύο βόλοι είναι μαύροι.

6. Ποια είναι η πιθανότητα μιά οικογένεια με δύο παιδιά να έχει

   α) δύο αγόρια δεδομένου ότι έχει τουλάχιστον ένα αγόρι;

   β) δύο αγόρια δεδομένου ότι το πρώτο παιδί είναι αγόρι;

7. Σε ένα πανεπιστήμιο, το $70\%$ είναι άνδρες και $30\%$ είναι γυναίκες. Είναι γνωστό ότι το $40\%$ των ανδρών και το $60\%$ των γυναικών είναι καπνιστές. Ποια είναι η πιθανότητα ένας φοιτητής που καπνίζει να είναι άνδρας;

8. Από 10 κάρτες, αριθμημένες από το ένα ως το 10, επιλέγονται δύο τυχαία και χωρίς επανατοποθέτηση. Ποια είναι η πιθανότητα οι αριθμοί που εμφανίστηκαν να έχουν άθροισμα:

   α) ίσο με 10;

   β) μικρότερο του 10;

   γ) μεγαλύτερο του 10;

9. Δύο τίμια ζάρια ρίχνονται μία φορά. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες των γεγονότων:

   $Α=\{$εμφανίζονται ίδιοι αριθμοί και στις δύο όψεις $\}$,

   $Β=\{$ο εμφανιζόμενος αριθμός στο ένα ζάρι είναι μεγαλύτερος του εμφανιζόμενου στο άλλο ζάρι $\}$,

   $\Gamma=\{$ το άθροισμα των εμφανιζόμενων αριθμών και στα δύο ζάρια είναι άρτιος $\}$.

10. Υποθέστε ότι $A$ και $B$ είναι δύο γεγονότα με θετική πιθανότητα να πραγματοποιηθούν. Δείξτε ότι αν $P(Α\vertΒ) = P(Α)$, τότε $P(Β\vertΑ) = P(Β)$.

11. $'$Ενα κουτί περιέχει 6 κόκκινες, 4 άσπρες και 5 μπλέ σφαίρες, κατά τ' άλλα όμοιες. Επιλέγουμε διαδοχικά τρεις σφαίρες (α) με επανατοποθέτηση, (β) χωρίς επανατοποθέτηση. Βρείτε την πιθανότητα να βγούν οι σφαίρες στη σειρά κόκκινη, άσπρη και μπλέ.

12. Εάν $Α_j$, $j=1,2,...,n$ είναι γεγονότα ενός πειράματος τύχης, δείξτε ότι
    
    $$P( A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) \leq P(A_1) + P(A_2) + \cdots + P(A_n) .$$
    
    

13. Ρίχνουμε ένα τίμιο ζάρι δύο φορές, και θεωρούμε τα γεγονότα $Α_j$, $j=1,2,3$, όπου

    $Α_1 =$"περιττός αριθμός εμφανίζεται στην πρώτη ρίψη",

    $Α_2 =$"περιττός αριθμός εμφανίζεται στην δεύτερη ρίψη",

    $Α_3 =$"το άθροισμα των δύο αριθμών που εμφανίστηκαν είναι περιττός αριθμός".

    Να εξεταστούν τα γεγονότα αυτά από την άποψη ανεξαρτησίας.

14. Ρίχνουμε ένα νόμισμα δύο φορές. Θεωρήστε τα παρακάτω γεγονότα:

    Α="κεφάλι στην πρώτη ρίψηbegintex2html_deferred

    Β="κεφάλι στη δεύτερη ρίψηbegintex2html_deferred

    Γ="και οι δύο ρίψεις δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα".

    α) Δείξτε ότι τα $A$, $B$, και $\Gamma$ είναι ανά δύο ανεξάρτητα αλλά δεν είναι ανεξάρτητα.

    β) Δείξτε ότι το $\Gamma$ είναι ανεξάρτητο των $A$ και $B$, αλλά δεν είναι ανεξάρτητο του $Α\cap Β$.

15. Υποθέτουμε ότι $Α$, $Β$, και $\Gamma$ είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα και $P(Α \cap Β) \neq 0$. Δείξτε ότι $P(\Gamma\vertΑ \cap Β) = P(\Gamma)$.

16. Ρίχνουμε τρείς φορές ένα αμερόληπτο ("τίμιο") ζάρι. Αν ξέρουμε ότι το 1 εμφανίστηκε τουλάχιστον μιά φορά, ποια είναι η πιθανότητα να εμφανίστηκε ακριβώς μία φορά;

17. Δύο τίμια ζάρια ρίχνονται μία φορά. Δεδομένου ότι το άθροισμα των εμφανισθέντων αριθμών είναι 7, ποια είναι η πιθανότητα σ' ένα τουλάχιστον από τα ζάρια να εμφανιστεί ένα 3;

18. Ένα κουτί περιέχει 4 άσπρες και 2 μαύρες σφαίρες, ενώ ένα δεύτερο 3 άσπρες και 5 μαύρες. Επιλέγουμε μιά σφαίρα από κάθε κουτί. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι

    α) και οι δύο άσπρες,

    β) και οι δύο μαύρες,

    γ) η μιά άσπρη και η άλλη μαύρη;

19. Τραβάμε στην τύχη ένα χαρτί από μιά τράπουλα 52 χαρτιών, και μετά ένα δεύτερο (α) με επανατοποθέτηση του πρώτου, (β) χωρίς επανατοποθέτηση. Ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξουμε δύο άσσους;

20. Ένα εργοστάσιο έχει δύο μηχανήματα $A$ και $B$, τα οποία κατασκευάζουν το $60\%$ και $40\%$ της συνολικής παραγωγής, αντίστοιχα. Το ποσοστό των ελαττωματικών κομματιών είναι $3\%$ για το μηχάνημα $A$ και $5\%$ για το μηχάνημα $B$. Βρείτε την πιθανότητα ένα ελαττωματικό κομμάτι της παραγωγής να κατασκευάστηκε από το μηχάνημα $B$.