Στοιχεία από τη Θεωρία Συνόλων

Ένα σύνολο $Α$ είναι μια (καλώς) ορισμένη συλλογή διακεκριμένων αντικειμένων. Έστω $a$ ένα από τα αντικείμενα αυτά. Το γεγονός ότι το $a$ είναι μέλος του $Α$ ή στοιχείο του $Α$ ή ότι ανήκει στο $Α$ συμβολίζεται με $a \in A$. Η άρνηση του γεγονότος αυτού συμβολίζεται με $a \notin A$. Λέμε ότι το σύνολο $Β$ είναι υποσύνολο του $Α$ ή ότι ανήκει στο $Α$, και γράφουμε $Β \subseteq Α$, αν για κάθε $a\in B$ ισχύει $a\in Α$. Λέμε ότι το $Β$ είναι γνήσιο υποσύνολο του $Α$, και γράφουμε $Β \subset Α$, αν $Β \subseteq Α$ και υπάρχει $a$ τέτοιο ώστε $a\notin Β$. Για παράδειγμα, το σύνολο $\{ a,i,u\}$ είναι γνήσιο υποσύνολο του $\{ a,ε,i,ο,u\}$.

Σε ό,τι ακολουθεί θα θεωρούμε ένα βασικό σύνολο $\Omega$ το οποίο θα είναι, εν γένει, διαφορετικό σε κάθε πρόβλημα που συναντάμε (θα είναι ο δειγματοχώρος του συγκεκριμένου προβλήματος). Όλα τα υπόλοιπα σύνολα θα είναι υποσύνολα του $\Omega$. Δύο υποσύνολα του $\Omega$, $Α$ και $Β$, λέγονται ίσα, και γράφουμε $Α=Β$, αν $Α \subseteq Β$ και $Β \subseteq Α$. Οι σημαντικότερες πράξεις συνόλων είναι οι παρακάτω:

1.

Ένωση. Το σύνολο όλων των στοιχείων που ανήκουν ή στο $Α$ ή στο $Β$ ή και στα δύο λέγεται ένωση των $Α$ και $Β$ και συμβολίζεται με $Α\cup Β$.

2.

Τομή. Το σύνολο όλων των στοιχείων που ανήκουν και στο $Α$ και στο $Β$ λέγεται τομή των $Α$ και $Β$ και συμβολίζεται με $Α\cap Β$.

Δύο σύνολα $Α$ και $Β$ για τα οποία $Α\cap Β=\emptyset$ λέγονται ξένα σύνολα.

3.

Διαφορά. Το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία του $Α$ που δεν ανήκουν στο $Β$ λέγεται διαφορά των $Α$ και $Β$ και συμβολίζεται με $Α-Β$.

4.

Συμπλήρωμα. Εάν $Β \subset Α$, τότε το $Α-Β$ λέγεται συμπλήρωμα του $Β$ ως προς το $Α$, και συμβολίζεται με $Β_Α^c$. Εάν $Α=\Omega$, το $\Omega-Β$ λέγεται απλά συμπλήρωμα του $Β$ και συμβολίζεται με $Β^c$.

Παραθέτουμε τώρα μερικές βασικές ιδιότητες των πράξεων μεταξύ συνόλων.

1.

$\Omega^c = \emptyset,~~\emptyset^c = \Omega,~~(Α^c)^c = A$.

2.

$\Omega \cup Α = \Omega, ~~\emptyset \cup Α = Α, ~~Α\cup Α^c=\Omega,~~Α\cup Α=Α$.

3.

$\Omega \cap Α = Α,~~\emptyset\cap Α =\emptyset, ~~Α\cap Α^c= \emptyset,~~Α\cap Α=Α$.

Οι παραπάνω ιδιότητες είναι προφανείς, όπως επίσης είναι και η ιδιότητα $\emptyset \subseteq Α$ για κάθε υποσύνολο Α του $\Omega$. Επίσης, έχουμε

4.

τους αντιμεταθετικούς νόμους,

$$A_1 \cup A_2 = A_2 \cup A_1$$

$$A_1 \cap A_2 = A_2 \cap A_1 ,$$

5.

τους προσεταιριστικούς νόμους,

$$A_1 \cup (A_2 \cup Α_3) = (A_1 \cup A_2) \cup Α_3$$

$$A_1 \cap (A_2 \cap Α_3) = (A_1 \cap A_2) \cap Α_3 ,$$

6.

και τους επιμεριστικούς νόμους,

$$Α \cap \left( \bigcup_{j=1}^n A_j \right) = \bigcup_{j=1}^n (A \cap A_j)$$

$$Α \cup \left( \bigcap_{j=1}^n A_j \right) = \bigcap_{j=1}^n (A \cup A_j) ,$$

όπου $\bigcup_{j=1}^n A_j = Α_1 \cup Α_2 \cup \cdots \cup Α_n$, και $\bigcap_{j=1}^n A_j = Α_1 \cap Α_2 \cap \cdots \cap Α_n$.

Έτσι, εάν $Α$ και $Β$ είναι δύο γεγονότα, τότε

$Α\cup Β$ είναι το γεγονός (που αντιστοιχεί στην πρόταση) ``ή $Α$ ή $Β$ ή και τα δύο'',

$Α\cap Β$ είναι το γεγονός ``και $Α$ και $Β$'',

$Α^c$ είναι το γεγονός ``όχι $Α$'', και

$Α-Β$ είναι το γεγονός ``$Α$ αλλά όχι και $Β$''.

Αν τα σύνολα που αντιστοιχούν στα γεγονότα $Α$ και $Β$ είναι ξένα, τότε τα γεγονότα αυτά είναι ασυμβίβαστα.

Μέχρι στιγμής περιγράψαμε πειράματα τύχης και συζητήσαμε τα πιθανά αποτελέσματά τους ή γεγονότα. Δεν αναφέραμε τίποτα για τη σχετική συχνότητα ή πιθανότητα εμφάνισης κάθε αποτελέσματος, πράγμα το οποίο θα κάνουμε στο επόμενο εδάφιο. Στο επόμενο εδάφιο, σε κάθε γεγονός $Α$ θα αντιστοιχίσουμε μια αριθμητική ποσότητα, $P(Α)$, η οποία θα κληθεί πιθανότητα του $Α$, δηλ. πιθανότητα να συμβεί το γεγονός $Α$.