Άλλες Ιδιότητες της Πιθανότητας

Θα αποδείξουμε τώρα κάποιες επιπλέον ιδιότητες της συνάρτησης πιθανότητας $P$, οι οποίες προκύπτουν άμεσα από τον ορισμό της, και χρησιμοποιούνται ευρέως στη Θεωρία Πιθανοτήτων.

1.

Το αδύνατο γεγονός έχει πιθανότητα μηδέν, δηλαδή $P(\emptyset) = 0$.

Απόδειξη: Αφού $\Omega$ = $\Omega$ + $\emptyset$, τότε $P(\Omega) = P(\Omega + \emptyset) = P(\Omega) + P(\emptyset)$. Από τον ορισμό της $P$ έχουμε όμως ότι $P(\Omega) =1$ και $P(\emptyset) \geq 0$. Οπότε $P(\emptyset) = 0$.

2.

Το συμπλήρωμα $A^c$ ενός γεγονότος $Α$ έχει πιθανότητα $P(A^c) = 1 - P(Α)$.

Απόδειξη: Από την ιδιότητα $Α \cup A^c =\Omega$ και την ιδιότητα iii έχουμε $P(Α \cup A^c) = P(\Omega) \Rightarrow P(Α) + P(A^c) =1 \Rightarrow P(A^c) = 1 - P(Α)$.

3.

Μια οποιαδήποτε συνάρτηση πιθανότητας $P$ είναι μη φθίνουσα, δηλαδή $Α_1 \subseteq Α_2$ συνεπάγεται $P(Α_1) \leq P(Α_2)$.

Απόδειξη: Προφανώς $Α_2 = Α_1 + (Α_2 - Α_1)$. Από την ιδιότητα iii της $P$ έχουμε τότε $P(Α_2) = P(Α_1 + (Α_2 - Α_1)) = P(Α_1) + P(Α_2 - Α_1)$. Επειδή $P(Α_2 - Α_1) \geq 0$, προκύπτει ότι $P(Α_1) \leq P(Α_2)$.

4.

Για οποιοδήποτε γεγονός ισχύει $0 \leq P(Α) \leq 1$.

Απόδειξη: Πράγματι, αφού $\emptyset \subseteq A \subseteq \Omega$, από την ιδιότητα 3 θα έχουμε $P(\emptyset) \leq P(Α) \leq P(\Omega)$. Αλλά $P(\emptyset) = 0$ και $P(\Omega) =1$, οπότε παίρνουμε $0 \leq P(Α) \leq 1$.

Παράδειγμα 10: Ρίχνουμε δύο ζάρια. Να βρεθεί η πιθανότητα να βγει το άθροισμα της πρώτης και της δεύτερης ρίψης διάφορο από 7 και 11.

Ο δειγματοχώρος του προβλήματος είναι

$$\begin{array}{rrrrrrl} \Omega= &\{(1,1) &(1,2) &(1,3) &.. &.... ...... \\ & (6,1) &(6,2) &..... &.. &.. &(6,6) \} \end{array}$$

όπου λόγου χάρη το σημείο (5,2) παριστάνει το γεγονός "5 το πρώτο ζάρι και 2 το δεύτερο".

Αν $Α$ είναι το γεγονός ``άθροισμα 7 ή 11'', τότε υπάρχουν οκτώ ευνοικά αποτελέσματα για το γεγονός αυτό. Αν δεχτούμε ότι τα απλά αυτά γεγονότα έχουν ίσες πιθανότητες, τότε καθένα από αυτά έχει πιθανότητα 1/36. Τότε, αφού το $Α$ περιέχει 8 τέτοια απλά γεγονότα, $P(Α) =8/36 =2/9$. Άρα η πιθανότητα να μην έχουμε άθροισμα 7 ή 11 είναι $P(Α^c) =1 -P(A) = 1-2/9 = 7/9$.