Το Προσθετικό Θεώρημα

Το αξίωμα (iii) του ορισμού της πιθανότητας μας λέει ότι αν τα σύνολα $Α$ και $Β$ είναι ξένα, τότε $P(Α\cup Β) = P(Α) + P(Β)$. Αν τα $Α$ και $Β$ δεν είναι αναγκαστικά ξένα, τότε ισχύει.

$$P(Α\cup Β) = P(Α) + P(Β) - P(A\cap B) .$$ (1)

Η εξ. (1) μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητή, επικαλούμενοι τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας και παρατηρώντας ότι το σύνολο $A\cup B$ έχει πλήθος στοιχείων το άθροισμα των στοιχείων των $A$ και $B$, μείον τα στοιχεία της τομής $A\cap B$, τα οποία στο παραπάνω άθροισμα καταμετρήθηκαν δύο φορές.

Η γενίκευσή της (1) για οποιοδήποτε πεπερασμένο αριθμό συνόλων (υποσυνόλων του $\Omega$) είναι το λεγόμενο προσθετικό θεώρημα:

$$P \left( \bigcup_{j=1}^n A_j \right) = \sum_{j=1}^n P(A_j) + (-1)^{2+1}\sum_{1\leq j_1 < j_2 \leq n} P(A_{j_1} \cap A_{j_2})$$

$$+ (-1)^{3+1} \sum_{1\leq j_1 < j_2 < j_3\leq n} P(A_{j_1} \cap A_{j_2}\cap A_{j_3} )$$

$$+ \cdots + (-1)^{n+1} P(A_{1} \cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n} ) .$$ (2)

Η απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος γίνεται επαγωγικά.

Για $n=3$ το προσθετικό θεώρημα δίνει

$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C)$$

$$- P(A\cap B) - P(B\cap C) - P(A\cap C)$$

$$+ P(A\cap B \cap C) .$$ (3)