Ασκήσεις

1.

Να προσδιοριστεί η σταθερά $c$ ώστε η συνάρτηση

$$f(x)= \left\{ \begin{array}{l} c x^2,~~~0 < x < 2 \\ 0,~~~{\textrm{αλλιώς}} \end{array} \right.$$

να είναι συνάρτηση πυκνότητας. Υπολογίστε τη συνάρτηση κατανομής για την τυχαία μεταβλητή της οποίας η $f$ είναι συνάρτηση πυκνότητας. Κατόπιν υπολογίστε την $P(1<X<2)$.

2.

Ένα νόμισμα ρίχνεται τρεις φορές. Αν η τυχαία μεταβλητή $Z$ παριστάνει το πλήθος των αποτελεσμάτων Κ, τότε βρείτε τη συνάρτηση πυκνότητας και κατανομής της $Z$ και παραστήστε τις γραφικά.

3.

Μια τυχαία μεταβλητή $Y$ έχει συνάρτηση πυκνότητας

$$f(y) = \left\{ \begin{array}{l} c y^2,~~~1 \leq y \leq 2 \\ ... ...\leq y \leq 3 \\ 0,~~~{\textrm{αλλιώς}}. \end{array} \right.$$

Να υπολογιστούν: α) η σταθερά $c$, β) οι πιθανότητες $P(Y > 2)$ και $P(\frac{1}{2} < Y < \frac{3}{2})$.

4.

Υποθέστε ότι διαλέγετε τυχαία έναν πραγματικό αριθμό $X$ από το διάστημα [2,10].

α) Βρείτε την συνάρτηση πυκνότητας $f(x)$ και την πιθανότητα ενός γεγονότος $A$ για το πείραμα αυτό, όπου $A$ είναι ένα υποδιάστημα $[a,b]$ του [2,10].

β) Από το (α), βρείτε τις πιθανότητες $P(X > 5)$, και $P( 5 < X < 7)$.

5.

Υποθέστε ότι διαλέγετε έναν πραγματικό αριθμό $X$ από το διάστημα [2,10], με μιά συνάρτηση πυκνότητας της μορφής

$$f(x) = c \ x ,$$

όπου $c$ είναι μιά σταθερά.

α) Βρείτε το $c$ .

β) Βρείτε την $P(A)$, όπου $A=[a,b]$ είναι ένα υποδιάστημα του [2,10].

γ) Βρείτε τις $P(X > 5)$ και $P( X < 7)$.

6.

Λύστε το προηγούμενο πρόβλημα με $f(x) = c/x$.

7.

Υποθέστε ότι παρατηρείτε μια ραδιενεργό πηγή η οποία εκπέμπει σωμάτια με ρυθμό που περιγράφεται από την εκθετική συνάρτηση πυκνότητας

$$f(t) = \lambda e^{-\lambda t} ,$$

όπου $\lambda =1$, έτσι ώστε η πιθανότητα $P(0,T)$ το σωματίδιο να εμφανιστεί στα επόμενα $T$ δευτερόλεπτα είναι

$$P ( [0,T] ) = \int_0^T \lambda \ e^{-\lambda t} \ dt .$$

Βρείτε την πιθανότητα ένα σωματίδιο (όχι απαραίτητα το πρώτο) να εμφανιστεί

α) εντός του επόμενου δευτερολέπτου,

β) εντός των επόμενων τριών δευτερολέπτων,

γ) μεταξύ του τρίτου και τέταρτου δευτερολέπτου από τώρα,

δ) μετά από τέσσερα δευτερόλεπτα από τώρα.

8.

Διαλέξτε έναν αριθμό $B$ τυχαία από το διάστημα $[0,1]$ με ομοιόμορφη πυκνότητα. Βρείτε την πιθανότητα

α) $P( 1/3 < Β < 2/3 )$ .

β) $P( Β < 1/4$ ή $1-B < 1/4 )$.

9.

Μια τυχαία μεταβλητή έχει πυκνότητα

$$f(x) = \frac{c}{x^2 +1} ,$$

όπου $-\infty < x < \infty$. (α) Υπολογίστε την τιμή της σταθεράς $c$. (β) Υπολογίστε την πιθανότητα $P( 1/3 < X^2 < 1 )$. (γ) Προσδιορίστε τη συνάρτηση κατανομής για τη δοσμένη $f(x)$.

10.

Η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής $X$ είναι

$$F(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1-e^{-2x},~~~x \geq 0 \\ 0,~~~x < 0 . \end{array} \right.$$

Βρείτε (α) την πυκνότητα, (β) την πιθανότητα $P(X>2)$, και (γ) την πιθανότητα $P(-3 < X \leq 4)$.

14.

Η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής $X$ είναι

$$F(x) = \left\{ \begin{array}{l} c x^3,~~~0 \leq x < 3 \\ 1,~~~~~x \geq 3 \\ 0,~~~~~x < 0 . \end{array} \right.$$

Εάν $P(X=3) =0$, να βρεθούν (α) η σταθερά $c$, (β) η πυκνότητα, (γ) οι πιθανότητες $P(X > 1)$, $P(1<X<2)$.

11.

Μπορεί η συνάρτηση

$$F(x) = \left\{ \begin{array}{l} c (1-x^2),~~~0 \leq x \leq 1 \\ 0,~~~~~{\textrm{αλλιώς}} \end{array} \right.$$

να παριστάνει συνάρτηση κατανομής; Γιατί;

12.

Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή έχει πυκνότητα

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2 e^{-2x},~~~{\textrm{για}}... ...>0 \\ 0,~~~~~{\textrm{για}} ~~x\leq 0 . \end{array} \right.$$

Να υπολογιστούν

α) η μέση τιμή της $X$,

β) η μέση τιμή της $X^2$, και

γ) η διασπορά και η τυπική απόκλιση της $X$.