Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας

Στενά συνδεδεμένα με την έννοια της δεσμευμένης πιθανότητας είναι το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας.

Υποθέτουμε ότι $A_1,A_2,...,A_n$ είναι $n$ ξένα ανά δύο ενδεχόμενα των οποίων η ένωση ισούται με το $\Omega$, είναι δηλαδή μια διαμέριση, όπως λέγεται, του $\Omega$. Υποθέτουμε επίσης ότι είναι γνωστές οι πιθανότητες $P(B\vert A_k)$ και $P(A_k)$ για $1\leq k \leq n$. Τότε αν Β είναι ένα ενδεχόμενο του $\Omega$, ποια είναι η $P(B)$; Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα παρατηρούμε ότι αφού τα $Α_k$ είναι μια διαμέριση του $\Omega$, θα είναι

$$B = B\cap \left(\bigcup_{k=1}^n A_k \right) = \bigcup_{k=1}^n (B \cap A_k) .$$

'Αρα, η προσθετική ιδιότητα της πιθανότητας δίνει $P(B) = \sum_{k=1}^n P(B\cap A_k)$. $'$Ομως $P(B\cap A_k) = P(B\vert A_k)P(A_k)$, οπότε έχουμε τελικά

$$P(B) = \sum_{k=1}^n P(B\vert A_k)P(A_k) .$$ (5)

H σχέση (5) είναι το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας.