Μέση τιμή τυχαίων μεταβλητών

Υποθέστε ότι συμμετέχετε σε ένα τυχερό παιχνίδι. Κάθε φορά που παίζετε ``εισπράτετε'' ένα ποσό $X$, όπου $X$ είναι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή με πιθανές τιμές $x_1,x_2,...,x_r$, τόσο θετικές όσο και αρνητικές. Το ερώτημα είναι αν συμφέρει να συμμετάσχετε. Ας υποθέσουμε ότι το παιχνίδι παίζεται $Ν$ φορές και ότι οι διαφορετικές παρτίδες του παιχνιδιού συνιστούν ανεξάρτητες επαναλήψεις του ίδιου πειράματος, το οποίο παρατηρεί τη μεταβλητή $X$. Αν συμβολίσουμε με $N(x_i)$ το πλήθος των παρτίδων (στις $Ν$) που έδωσαν για τη $X$ την τιμή $x_i$, τότε η συνολική είσπραξη/απώλεια από το παιχνίδι θα είναι

$$N (x_1)x_1+ N (x_2)x_2+ \cdots +N (x_r)x_r= \sum_{i=1}^r x_i N (x_i) .$$

Το μέσο ποσό που εισπράτετε (ή χάνετε) τότε είναι

$$\sum_{i=1}^r x_i \frac{N (x_i)}{Ν} .$$

Ερμηνεύοντας την πιθανότητα ως σχετική συχνότητα, αν το $Ν$ είναι αρκετά μεγάλο, περιμένουμε ότι

$$\frac{N(x_i)}{Ν} \simeq P(X=x_i) = f(x_i) .$$

Επομένως το μέοο ποσό που εισπράτετε ή χάνετε θα πρέπει να είναι περίπου ίσο με $\mu = \sum_{i=1}^r x_i f(x_i)$. Αν το ποσό αυτό είναι θετικό φαίνεται λογικό να περιμένουμε καθαρό κέρδος από το παιχνίδι, αν είναι αρνητικό ζημία και αν είναι μηδέν ούτε κέρδος ούτε ζημία.

Γενικά, έστω μια διακριτή τυχαία μεταβλητή $X$ που παίρνει τις πεπερασμένες το πλήθος τιμές $x_1,x_2,...,x_r$. Τότε η μέση τιμή της $X$, η οποια συμβολίζεται με $\mu$ ή $E(X)$ ή $\bar{X}$ ή $<X>$ είναι ο αριθμός

$$E(X) = \sum_{i=1}^r x_i f(x_i) ,$$

όπου $f(x)$ είναι η πυκνότητα της $X$.

Υποθέστε ότι η $X$ έχει την ομοιόμορφη πυκνότητα $f(x_i) = P(X=x_i) = 1/r$. Τότε από τον ορισμό της μέσης τιμής έχουμε ότι $E(X) = (1/r) \sum_{i=1}^r x_i = (x_1+x_2+ \cdots +x_r)/r$, δηλαδή στην περίπτωση αυτή η $E(X)$ είναι απλώς ο μέσος όρος των πιθανών τιμών της $X$. Γενικά, όπως φαίνεται από τον ορισμό της, η $E(X)$ είναι ένας "μέσος όρος" με βάρη των πιθανών τιμών της $X$. Όταν το πλήθος των τιμών της $X$ είναι άπειρο (αριθμήσιμο), η μέση τιμή έχει νόημα αν το άθροισμα $\sum_{i=1}^{\infty} x_i f(x_i)$ είναι καλά ορισμένο.

Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή με πυκνότητα $f(x)$ η μέση τιμή ορίζεται από τη σχέση

$$E(X) = \int_{-\infty}^\infty x f(x) dx ,$$

όπου το άθροισμα πάνω σε όλες τις πιθανές τιμές της $X$ έχει αντικατασταθεί με ολοκλήρωμα.

Παρακάτω δίνονται οι σημαντικότερες ιδιότητες της μέσης τιμής, που προκύπτουν εύκολα από τον ορισμό της. Για δύο τυχαίες μεταβλητές $X$ και $Y$ με πεπερασμένη μέση τιμή, έχουμε

α) Αν η $Χ$ παίρνει μόνο μία τιμή, $c=$σταθερά, και $P(X=c)=1$, τότε $E(X)=c$.

β) Αν $c=$σταθερά, τότε η $cX$ έχει πεπερασμένη μέση τιμή, και $E(cX) = cE(X)$.

γ) Η $X+Y$ έχει πεπερασμένη μέση τιμή και $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$

δ) Υποθέστε ότι $P(X\geq Y) =1$. Τότε, $E(X) \geq E(Y)$. Επιπλέον, $E(X) = E(Y)$, αν και μόνο αν $P(X= Y) =1$.

ε) $\vert E(X)\vert \leq E(X)$

στ) $E(XY) = E(X) E(Y)$, αν $X$ και $Y$ είναι δύο ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές.

Παράδειγμα 8: Υπολογίστε τη μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής $X$ που ακολουθεί τη (διακριτή) πυκνότητα Poisson του Παραδείγματος 3, δηλαδή $f(j)=P(X=j)=\frac{{\lambda}^j}{j!}e^{-\lambda}$.

Έχουμε

$$E(X) = \sum_{j=1}^\infty j \frac{\lambda^j}{j!} e^{-\lambda} = e^{-\lamb... ...}{(j-1)!} = \lambda e^{-\lambda} \sum_{j=1}^\infty \frac{\lambda^{j-1}}{(j-1)!}$$

$$= \lambda e^{-\lambda} \sum_{i=0}^\infty \frac{\lambda^{i}}{(i)!} = \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} = \lambda$$

$$\Rightarrow E(X) = \lambda ,$$

όπου χρησιμοποιήσαμε το ανάπτυγμα Taylor της εκθετικής συνάρτησης $\sum_{j=0}^\infty \frac{\lambda^{j}}{j!} = e^\lambda$.

Παράδειγμα 9: Υποθέτουμε ότι η τυχαία μεταβλητή $X$ ακολουθεί γεωμετρική κατανομή με παράμετρο $p$, δηλαδή $f(j)=P(X=j)=p(1-p)^j$. Υπολογίστε την $E(X)$.

Έχουμε

$$E(X) = \sum_{j=0}^\infty j p (1-p)^j = p(1-p) \sum_{j=0}^\infty j (1-p)^{j-1}$$

$$= -p(1-p) \sum_{j=0}^\infty \frac{d}{dp}[ (1-p)^j] = -p(1-p) \frac{d}{dp} \sum_{j=0}^\infty (1-p)^j$$

Αλλά $\sum_{j=0}^\infty (1-p)^j = 1/p$, οπότε

$$E(X) = -p(1-p) \frac{d}{dp}(1/p) = (1-p)/p .$$

Παράδειγμα 10: Υποθέτουμε ότι η συνεχής τυχαία μεταβλητή $X$ έχει ομοιόμορφη πυκνότητα στο διάστημα $(a,b)$, δηλαδή $f(x)=c$ ($c$ σταθερά) για κάθε $x \in (a,b)$ και $f(x)=0$ για $x\le a$ και $x\ge b$. Τότε,

$$E(X) = \int_a^b x \frac{1}{b-a} dx =\frac{1}{b-a} \left[ \f... ...ght]_a^b = \frac{1}{b-a} \frac{b^2-a^2}{2} = \frac{b+a}{2} .$$

Παράδειγμα 11: H πυκνότητα μιας τυχαίας μεταβλητής $X$ είναι

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x/2,~~ 0<x<2 \\ 0,~~~{\textrm{αλλιώς}} \end{array} \right .$$

Υπολογίστε τη μέση τιμή της $X$.

Έχουμε

$$E(X) = \int_{-\infty}^\infty x f(x) dx = \int_0^2 x \frac{1}... ...= \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{4}{3} .$$